数列的极限讲解（一篇文章学会！）

极限在大学数学中是一个很重要的内容，数学专业，非数学专业一般情况都会学习，那么今天我们就来一起看一下，数列的极限都有哪些知识点要学习，又应该怎么去了解呢？

在庄子篇中讲过这样一段话，指的是将一根木棒每天取一半，一直这样取下去，永远也取不完，这是一段很富有哲理的论述，如果我们将这些话引用到数学中，大家会发现奇妙的问题就出现了，如下所说：

《庄子·杂篇·天下》：飞鸟之景未尝动也。镞矢之疾，而有不行、不止之时。狗非犬。黄马骊牛三。白狗黑。孤驹未尝有母。一尺之棰，日取其半，万世不竭。

我们如果将最后一句话用到数学中，并且用数列的形式将其表达出来，此时你会发现木棍永远取不完，数字的排列也是永无尽头的，就会得到以下情况：

再来看一个例子：

在三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数从而求出圆周率的方法。

数学意义：“割圆术”，是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”。

刘徽表达他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。

在这个割圆过程中，你会发现，随着多边形的增加，多边形的边就越逼近直线段。

接下来我们再来看一下，数列又是怎样定义的。

数列定义：按照某一法则，对每个正整数n，都有确定的实数xₙ与之对应，这列有序的数表示为：x₁，x₂，x₃,……x ₙ，……

以上的排列，我们就称为数列，其中数列的每个数，叫做数列的项，并且第n项xn称为数列的一般项或者是通项。

这样讲解，想必大家会有些模糊，我这里给大家举个例子说明一下。

注意：1、如果我们将数列的每一项看着一个动点，实际上可以在数轴上依次取x₁，x₂，x₃,…x ₙ，…

2、数列可以看为整标函数Xn＝f(n)，因为数列是一些分散的点，所以实质是定义在正整数集上的函数。

我们继续往下看，如果存在以下问题，那么又应该怎么解决呢？

当n无限增大时，Xn的变化趋势如何呢？

我们将n无限增大，这一变化过程可以记为n→∞

如果我们将上述（4）中的通项进行讨论，你会发现n→ ∞时，有以下结论。

我们再来看一个问题：无限接近，如果要用数学语言去刻画，应该怎么表示呢？我来给大家讲一个例子，想必大家就明白了。假设有以下数字↓

取确定数字0.01时，那么在上述条件中，就有以下关系成立↓

依次类推，取0.001时，就有↓

取0.0001时，也会得到同样的结论↓

这时我们就可以得到一个总结论是成立的。

根据上述理解，我们来看一下定义到底是怎样表达呢？

注意：如果要是数列不存在极限呢？又该怎么表示，此时就可以称数列是发散的。

对于ε--N定义大家也要有一定了解。

注意：数列极限的定义未给出求极限的方法。

我们再来看一下它的几何意义是什么？我们通过数轴进行表达。

此时当n＞N时，所有的点xn都落在开区间(a－ε，a＋ε)内时，只有有限个（至多只有N个）点落在其外面。

通过学习，我们来看一个例题，以便大家加深理解：

分析：该题目，是需要我们证明等式相等，大家可以借助上述定义进行证明。凑|Xn－1|

然后转换成我们所要证明的题目，最后取任意数ε＞0，使得|Xn－1|＜ε，只要1/n＜ε，或n＞1/ε，那么取N＝[1/ε]，则当n＞N时，就有↓

从而可得题目可证。

通过学习，大家下去过后，可以做一做以下练习题。